נולד בירושלים לרב ישראל אזרחי ולהינדא בת הרב ברוך , בוגר ישיבת "כנסת ישראל" בסלובודקה שכיהן כרב בדרום אפריקה והיה נכדו של הרב אורי דוד אפריון, רבה של זאגר ומחבר ספר "אפריון דוד". למד בישיבת חברון ונחשב מבחירי הישיבה. בגיל עשרים ושבע נישא לשולמית חדש, בתו של הרב מאיר חדש זצ"ל, משגיח הישיבה. הרב אזרחי החל למסור שיעורים בישיבת חברון, ובמקביל, במשך כשתים-עשרה שנה מסר שיעורים שבועיים בישיבת כנסת חזקיהו שבכפר חסידים.

לפני קרוב לשישים שנה ייסד את תנועת בני תורה, שמטרתה לקרב תלמידי ישיבות תיכוניות לעולם הישיבות הליטאיות ולצרפם לציבור החרדי. בעשרות שנות פעילותה סחפה התנועה תלמידים רבים שעברו ללמוד בישיבות ליטאיות. התנועה מקיימת מחנות קיץ משותפים לתלמידי ישיבות ליטאיות וישיבות תיכוניות, וכן פעילויות נוספות. אחרי מספר שנים עזב את ישיבת חברון וייסד את ישיבת עטרת ישראל, הקרויה על שם אביו.

ראש הישבה היה מוסר מדי שבוע שיעורים בסדר קדשים לבחורי ישיבות. כמו כן מסר "חבורה" בלילות שבת. הרב נודע בקולו הסוחף וביכולותיו הרטוריות בהן ניחן, והיה מסתובב בין הישיבות ומוסר שיעורי מוסר והשקפה. בעשור האחרון שימש כחבר למועצת גדולי התורה של דגל התורה.

רעייתו, שולמית מחלה אזרחי נפטרה בג' בטבת תשפ"ג, הייתה בתו של המשגיח של ישיבת חברון, הרב מאיר חדש. הייתה סופרת, ובין השאר כתבה את הספר המשגיח – הגביע שעלה על גדותיו על אביה, ואת הספר מי האיש על החפץ חיים. בנו הרב בן ציון, וארבע בנות. הבן, הרב בן ציון, מראשי ישיבת "עטרת ישראל" ומנהל את מוסדותיה. ארבע בנותיו נשואות לרבנים: הרב אריאל וילנסקי, ראש ישיבת אש התלמוד, הרב יהושע קנל, משגיח הישיבה הקטנה "עטרת ישראל", הרב ישעיהו הדר גלזמן, ר"מ בישיבת "עטרת ישראל" והרב אהרן וינר, ראש ישיבת חכמת שלמה-בית וגן.

שידורי רדיו 'קול חי' נקטעו ומשדר מיוחד נפתח בהגשת בצלאל קאהן להתייחדות עם זכרו של מרן ראש הישיבה זצ"ל. האזינו לפרקי חייו של מרן מפי המגיש בצלאל קאהן